指数函数知识点总结.doc
指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 1,且axnxann∈ *.nN负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 。0当 是奇数时, ,当 是偶数时,an)0(|an2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定: )1,,(*nNmanm ,01*n0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义3.实数指数幂的运算性质(1) · ;rasr),(Rsra(2) ;s)((3) .srb),0((二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数)1,(ayx且函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.2、指数函数的图象和性质a1 0a1 654321-1-4 -2 2 4 60654321-1-4 -2 2 4 60定义域 R 定义域 R值域 y>0 值域 y>0在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a,b]上, 值域是 或)a()xf且 )]b(f,a[)]a(f,b[(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;0x1()f Rx(3)对于指数函数 ,总有 ;)1a0()xf且 a)(f指数函数·例题解析【例 1】求下列函数的定义域与值域:()y3(2)y(3)y2x= = =12 1x x解 (1)定义域为 x∈R 且 x≠2.值域 y>0 且 y≠1.(2)由 2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为 y≥0.(3)由 3-3 x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3,∴ 值 域 是 ≤ < .0y练习: (1) 412x; (2) |()3xy; (3) 124xy;【例 2】指数函数 y=a x,y=b x,y=c x,y=d x 的图像如图 2.6-2 所示,则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 [ ]A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<cC. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b解 选(c),在 x 轴上任取一点(x,0),则得 b<a<1<d<c.练习:指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).【例 3】比较大小:(1)20.6、 、 、 、 的 大 小 关 系 是 : .4816323594()(3)4.54.1________3.73.6解 (1)y2()x∵ , , , , ,函 数 = , > , 该 函 数 在 - ∞ , + ∞ 上 是 增 函 数 ,又 < < < < , ∴ < < < < .4821638549212315239493859解 (2)0.61.∵ > , > ,∴ > .12452()解 (3)借助数 4.53.6 打桥,利用指数函数的单调性,4.5 4.1>4.5 3.6,作函数y1=4.5 x,y 2=3.7 x 的图像如图 2.6-3,取 x=3.6,得 4.53.6>3.7 3.6∴ 4.5 4.1>3.7 3.6.说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例 2 中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助 1 作桥梁,如例 2 中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与 4.54.1 同底与 3.73.6 同指数的特点,即为 4.53.6(或3.74.1),如例 2 中的(3).练习: (1)1.7 2.5 与 1.7 3 ( 2 ) 0.18与 0.2( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 (4) 和5.312.02【 例 4】解 比 较 大 小 与 > 且 ≠ , > .当 < < , ∵ > , > ,aannn1111(0an1)0()()∴ < , ∴ <当 > 时 , ∵ > , > ,∴ > , >aanaann11111()() ()0【例 5】作出下列函数的图像:()y(2)yx= = - ,21x(3)y=2 |x-1| (4)y=|1-3 x|解 (1)y(264)(0)(1)1= 的 图 像 如 图 . - , 过 点 , 及 - , .是 把 函 数 = 的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 得 到 的 .221x解 (2)y=2 x-2 的图像(如图 2.6-5)是把函数 y=2 x 的图像向下平移 2 个单位得到的.解 (3)利用翻折变换,先作 y=2 |x|的图像,再把 y=2 |x|的图像向右平移1 个单位,就得 y=2 |x-1|的图像(如图 2.6-6).解 (4)作函数 y=3 x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y=-3 x 的图像,再把y=-3 x 的图像向上平移 1 个单位,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到.(如图 2.6-7)【 例 8】 已 知 = >f()(a)(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的值域;(3)证明 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.解 (1)定义域是 R.f(x) f(x)- = = - ,ax1∴函数 f(x)为奇函数.(2)yy1a1yx函 数 = , ∵ ≠ , ∴ 有 = > - < < ,ayx 10即 f(x)的值域为(-1,1).(3)设任意取两个值 x1、x 2∈(-∞,+∞)且 x1<x 2.f(x 1)-f(x 2)= = , ∵ > , < , < , ++ > , ∴ < , 故 在 上 为 增 函 数 .aaaaxl lx xx12 12()a()()0f)f(R12单元测试题一、选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1、化简 ,结果是( )111113268422A、 B、 C、 D、1321321321322、 等于( )44366399aA、 B、 C、 D、 168a4a2a3、若 ,且 ,则 的值等于( )0ab2bbA、 B、 C、 D、2624、函数 在 R 上是减函数,则 的取值范围是( )2()1xfxaA、 B、 C、 D、aa1a5、下列函数式中,满足 的是( )())2fxfxA、 B、 C、 D、1()2x142x6、下列 是( )2)xfaAA、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数7、已知 ,下列不等式(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;,0b2ab2ab113ab(5) 中恒成立的有( )13aA、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个8、函数 是( )1xyA、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数9、函数 的值域是( )2xA、 B、 C、 D、,1,0,1,(,1)0,10、已知 ,则函数 的图像必定不经过( )01,abxyabA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限11、 是偶函数,且 不恒等于零,则 ( )2()()0xFfx()fxfxA、是奇函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数12、一批设备价值 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 ,则 年后这批设a %bn备的价值为( )A、 B、 C、 D、(1%)nb(1)nb[1()]na(1)a二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上)13、若 ,则 。03,xy0xy14、函数 的值域是 。281(3)x≤ ≤15、函数 的单调递减区间是 。23xy16、若 ,则 。1(5)f(125)f三、解答题:(本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17、设 ,解关于 的不等式 。0ax2233xxa18、已知 ,求 的最小值与最大值。3,2x1()42xf19、设 , ,试确定 的值,使 为奇函数。aR2()()1xaf Ra()fx20、已知函数 ,求其单调区间及值域。2513xy21、若函数 的值域为 ,试确定 的取值范围。432xyA1,7x22、已知函数 (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域;(3)证1()()xaf明 是 上的增函数。()fxR指数与指数函数同步练习参考答案一、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C D D B C A D A A D二、13、 4314、 ,令 ,∵ ,又91,2281()9Uxx31,9xU≤ ≤ ≤ ≤∵ 为减函数,∴ 。3y993y≤ ≤15、 ,令 , ∵ 为增函数,∴ 的单调递减区0,2,UyxU23xy间为 。16、 0, 321(125)(5)0fff三、17、∵ ,∴ 在 上为减函数, ∵ , ∴axya,2233xxa22331xx18、 , 221 13()4 4xxxxf∵ , ∴ .328x≤ ≤则当 ,即 时, 有最小值 ;当 ,即 时, 有最大值1x()f4328x3()fx57。19、要使 为奇函数,∵ ,∴需 , ()fxR()0f∴ ,由 ,得122,()1xxxfafa 120xxa, 。()20x20、令 , ,则 是关于 的减函数,而 是 上的减函13Uy25xyU,1数, 上的增函数,∴ 在 上是增函数,而在 上是,2513x,1,减函数,又∵ , ∴ 的值域为 。225(1)4Uxx≥ 2513xy410,321、 ,依题意有2433xxy即 ,∴ 2()71xx≤≥ 41x或≤ ≤≥ ≤ 24021,xx或≤ ≤ ≤由函数 的单调性可得 。y(,0][,22、 (1)∵定义域为 ,且 是奇函数;xR)(),1xxaf ffx(2) 即 的值域为 ;122(),,0,x xx xaf a∵ ()f1,(3)设 ,且 ,12,xR12(∵分母大于零,且 ) 121212() 0()xxxaaff12xa∴ 是 上的增函数。fxR