指数函数知识点总结.doc

指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 1，且axnxann∈ *．nN负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0当 是奇数时， ，当 是偶数时，an)0(|an2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,(*nNmanm ,01*n0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1） · ；rasr),(Rsra（2） ；s)(（3） ．srb),0(（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数)1,(ayx且函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1．2、指数函数的图象和性质a1 0a1 654321-1-4 -2 2 4 60654321-1-4 -2 2 4 60定义域 R 定义域 R值域 y＞0 值域 y＞0在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上， 值域是 或)a()xf且 )]b(f,a[)]a(f,b[（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；0x1()f Rx（3）对于指数函数 ，总有 ；)1a0()xf且 a)(f指数函数·例题解析【例 1】求下列函数的定义域与值域：()y3(2)y(3)y2x＝ ＝ ＝12 1x x解 (1)定义域为 x∈R 且 x≠2．值域 y＞0 且 y≠1．(2)由 2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为 y≥0．(3)由 3－3 x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴ 值 域 是 ≤ ＜ ．0y练习： （1） 412x； （2） |()3xy； （3） 124xy；【例 2】指数函数 y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x 的图像如图 2．6－2 所示，则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 [ ]A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜cC． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b解 选(c)，在 x 轴上任取一点(x，0)，则得 b＜a＜1＜d＜c．练习：指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).【例 3】比较大小：(1)20.6、 、 、 、 的 大 小 关 系 是 ： ．4816323594()(3)4.54.1________3.73.6解 (1)y2()x∵ ， ， ， ， ，函 数 ＝ ， ＞ ， 该 函 数 在 － ∞ ， ＋ ∞ 上 是 增 函 数 ，又 ＜ ＜ ＜ ＜ ， ∴ ＜ ＜ ＜ ＜ ．4821638549212315239493859解 (2)0.61.∵ ＞ ， ＞ ，∴ ＞ ．12452()解 (3)借助数 4.53.6 打桥，利用指数函数的单调性，4.5 4.1＞4.5 3.6，作函数y1＝4.5 x，y 2＝3.7 x 的图像如图 2．6－3，取 x＝3.6，得 4.53.6＞3.7 3.6∴ 4.5 4.1＞3.7 3.6．说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例 2 中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与 4.54.1 同底与 3.73.6 同指数的特点，即为 4.53.6(或3.74.1)，如例 2 中的(3)．练习： （1）1.7 2.5 与 1.7 3 ( 2 ) 0.18与 0.2( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 （４） 和5.312.02【 例 4】解 比 较 大 小 与 ＞ 且 ≠ ， ＞ ．当 ＜ ＜ ， ∵ ＞ ， ＞ ，aannn1111(0an1)0()()∴ ＜ ， ∴ ＜当 ＞ 时 ， ∵ ＞ ， ＞ ，∴ ＞ ， ＞aanaann11111()() ()0【例 5】作出下列函数的图像：()y(2)yx＝ ＝ － ，21x(3)y＝2 |x-1| (4)y＝|1－3 x|解 (1)y(264)(0)(1)1＝ 的 图 像 如 图 ． － ， 过 点 ， 及 － ， ．是 把 函 数 ＝ 的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 得 到 的 ．221x解 (2)y＝2 x－2 的图像(如图 2．6－5)是把函数 y＝2 x 的图像向下平移 2 个单位得到的．解 (3)利用翻折变换，先作 y＝2 |x|的图像，再把 y＝2 |x|的图像向右平移1 个单位，就得 y＝2 |x-1|的图像(如图 2．6－6)．解 (4)作函数 y＝3 x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y＝－3 x 的图像，再把y＝－3 x 的图像向上平移 1 个单位，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到．(如图 2．6－7)【 例 8】 已 知 ＝ ＞f()(a)(1)判断 f(x)的奇偶性； (2)求 f(x)的值域；(3)证明 f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解 (1)定义域是 R．f(x) f(x)－ ＝ ＝ － ，ax1∴函数 f(x)为奇函数．(2)yy1a1yx函 数 ＝ ， ∵ ≠ ， ∴ 有 ＝ ＞ － ＜ ＜ ，ayx 10即 f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值 x1、x 2∈(－∞，＋∞)且 x1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)＝ ＝ ， ∵ ＞ ， ＜ ， ＜ ， ＋＋ ＞ ， ∴ ＜ ， 故 在 上 为 增 函 数 ．aaaaxl lx xx12 12()a()()0f)f(R12单元测试题一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、化简 ，结果是（ ）111113268422A、 B、 C、 D、1321321321322、 等于（ ）44366399aA、 B、 C、 D、 168a4a2a3、若 ,且 ,则 的值等于（ ）0ab2bbA、 B、 C、 D、2624、函数 在 R 上是减函数，则 的取值范围是（ ）2()1xfxaA、 B、 C、 D、aa1a5、下列函数式中，满足 的是( )())2fxfxA、 B、 C、 D、1()2x142x6、下列 是（ ）2)xfaAA、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数7、已知 ，下列不等式（1） ；(2) ；(3) ；(4) ；,0b2ab2ab113ab(5) 中恒成立的有（ ）13aA、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个8、函数 是（ ）1xyA、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数9、函数 的值域是（ ）2xA、 B、 C、 D、,1,0,1,(,1)0,10、已知 ,则函数 的图像必定不经过（ ）01,abxyabA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限11、 是偶函数，且 不恒等于零，则 ( )2()()0xFfx()fxfxA、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 ，则 年后这批设a %bn备的价值为（ ）A、 B、 C、 D、(1%)nb(1)nb[1()]na(1)a二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把答案填写在答题纸上）13、若 ，则 。03,xy0xy14、函数 的值域是 。281(3)x≤ ≤15、函数 的单调递减区间是 。23xy16、若 ，则 。1(5)f(125)f三、解答题：（本题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、设 ，解关于 的不等式 。0ax2233xxa18、已知 ，求 的最小值与最大值。3,2x1()42xf19、设 ， ，试确定 的值，使 为奇函数。aR2()()1xaf Ra()fx20、已知函数 ，求其单调区间及值域。2513xy21、若函数 的值域为 ，试确定 的取值范围。432xyA1,7x22、已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证1()()xaf明 是 上的增函数。()fxR指数与指数函数同步练习参考答案一、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C D D B C A D A A D二、13、 4314、 ，令 ，∵ ,又91,2281()9Uxx31,9xU≤ ≤ ≤ ≤∵ 为减函数，∴ 。3y993y≤ ≤15、 ，令 ， ∵ 为增函数，∴ 的单调递减区0,2,UyxU23xy间为 。16、 0， 321(125)(5)0fff三、17、∵ ,∴ 在 上为减函数， ∵ , ∴axya,2233xxa22331xx18、 , 221 13()4 4xxxxf∵ , ∴ .328x≤ ≤则当 ,即 时, 有最小值 ；当 ,即 时， 有最大值1x()f4328x3()fx57。19、要使 为奇函数，∵ ,∴需 , ()fxR()0f∴ ,由 ,得122,()1xxxfafa 120xxa, 。()20x20、令 , ，则 是关于 的减函数，而 是 上的减函13Uy25xyU,1数， 上的增函数，∴ 在 上是增函数，而在 上是,2513x,1,减函数，又∵ , ∴ 的值域为 。225(1)4Uxx≥ 2513xy410,321、 ，依题意有2433xxy即 ，∴ 2()71xx≤≥ 41x或≤ ≤≥ ≤ 24021,xx或≤ ≤ ≤由函数 的单调性可得 。y(,0][,22、 （1）∵定义域为 ,且 是奇函数；xR)(),1xxaf ffx（2） 即 的值域为 ；122(),,0,x xx xaf a∵ ()f1,（3）设 ,且 ，12,xR12(∵分母大于零，且 ) 121212() 0()xxxaaff12xa∴ 是 上的增函数。fxR