D4考研基础班.ppt

1,第四讲,不 定 积 分,2,Ⅰ.基本内容,一、原函数的概念,1.原函数的定义：,如果在开区间I内，,或,那么函数,称为f(x)在区间I内的一个原函数.,导数为,2.原函数存在的条件,导函数,使,简言之：,连续函数一定有原函数.,3,定理1.,存在原函数 .,即在I内一定存在可导函数 使,,初等函数在定义区间上连续,,初等函数在定义区间上有原函数,3.原函数的结构定理：,的原函数.,(2),若,都是,的原函数，,一个常数.,4,二、不定积分的概念与性质,称为函数,的不定积分.,记为,1.定义：,— 积分号;,— 被积函数;,— 被积表达式.,— 积分变量;,有定义知：若,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数, 不可丢 !,例如：,5,(k是常数，,2.不定积分的性质：,或,或,6,三、基本积分公式：（24个）,①幂2个,②指2个,③三角10个,④双曲2个,⑤有理式4个,⑥无理式4个,注意：以上公式在被积函数的连续区间内成立，本章常把这个区间省去不写，第五章自然要考虑这个区间.,7,四、不定积分计算的基本方法：,（1）直接积分法：通过简单变形, 利用基本积分公式,和积分的性质求不定积分的方法 .,（2）换元积分法,(代换: ),（3）分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,,,前者为 u,后者为 .,8,若,令,回代,关键：,将,化为：,则有换元公式,可导，,du,du,dx,d,d,1)第一类换元积分法,若好求,9,2)第二类换元积分法,则有换元公式：,(易积),其中：,d,10,三角代换的目的也是化掉根式.,一般规律如下：,可令,可令,可令,注意:,灵活运用三角代换,,以上规律并不是绝对的.,当被积函数中含有,当分母的次数较高时,,可采用倒代换,,11,（4）几种特殊类型积分的一般积分方法,有理函数,,分解,多项式及 部分分式之和,指数函数有理式,,指数代换,三角函数有理式,,万能代换,简单无理函数,,三角代换,,根式代换,12,需要注意的问题：,(1) 一般方法不一定是最简便的方法,,(3) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出.,例如：,初等函数,初等函数,(2) 所用的方法不同，有时同一个积分的结果不同.,13,例1 若,提示:,例2 若,是,的原函数 , 则,提示: 已知,Ⅱ.典型例题分析,14,例3 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示: 已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,15,例4 已知,的一个原函数是,求,解:,说明: 此题若先求出,再求积分反而复杂.,,,16,例5 已知,求,解: 两边求导, 得,则,(代回原变量),17,例6 求下列不定积分:,,,,18,分子分母同除以,解:,令,原式,19,解：,利用凑微分法 ,,原式 =,令,,得,20,解:,原式 =,前式令,,; 后式配元,21,解法1: 令,解法2: 令,则,该法适用于含 的偶次幂,解法3:,22,解:,技巧：化分母为单项式.,23,解法1,解法2,24,解:,原式,,,25,解1:,令,解2:,令,分母次数较高, 宜使用倒代换.,26,解,方法1,(先分部 , 再换元),令,则,,,,,令,则,故,27,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配方等方法,(4) 巧妙换元或配元，化分母为单项式等.,万能凑幂法,,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,28,05年的考研题,解1:,原式,解2:,令,29,解: 取,,,,,,,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,?,30,多次分部积分的 规 律,,,,快速计算表格:,,,,,,,特别: 当 u 为 n -1次多项式时,,计算大为简便 .,,,,,31,,思考与练习,下述运算错在哪里? 应如何改正?,得 0 = 1,答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .,求此积分的正确作法是用换元法 .,32,分析：,解:,于是,