2-3 随机变量的分布函数.ppt

第二章 随机变量及其概率分布,第三讲 随机变量的分布函数,《概率论与数理统计》课程教学团队,第三讲 随机变量的分布函数,一、分布函数 二、常用连续型随机变量的分布函数 三、小结,定义 设X是一随机变量, 称函数F( x ) = P ( X ≤ x ), －∞ ＜ x ＜+ ∞ 为随机变量 X 的分布函数.,,x,0,x,,,X,,F( x ) = P ( X ≤ x ) = P ( X ∈ ( -∞, x ] ),一、分布函数,例1 设离散型随机变量X的分布律为X -1 1 2P 0.5 0.2 0.3,,,求X的分布函数.,,,,,解,,例1 设离散型随机变量X的分布律为X -1 1 2P 0.5 0.2 0.3,,,求X的分布函数,,,,,解,,,例1 设离散型随机变量X的分布律为X -1 1 2P 0.5 0.2 0.3,,,求X的分布函数,,,,,解,,,,例1 设离散型随机变量X的分布律为X -1 1 2P 0.5 0.2 0.3,,,求X的分布函数,,,,,解,,,,,例1 设离散型随机变量X的分布律为X -1 1 2P 0.5 0.2 0.3,,,总之, X的分布函数为,F(x)的图像如下:,,,,,,,,,,,定理1 ( 分布函数的性质 ),(1) 0 ≤F(x) ≤1;,(2) P( x1 ＜X ≤x2 ) = F(x2)－F(x1);,(3) F(x)是单调不减的, 即若x1＜x2, 则F( x1 ) ≤F( x2 );,(4),(5) F( x ) 是右连续函数, 即,P(x1＜X ≤x2) = P(X ≤ x2 )－ P(X ≤x1 ),,{ x1＜X ≤x2},,,{ X ≤ x2 },{ X ≤x1 },-,,,=,,,F( x ) = P ( X ≤ x ),F(x)的图像如下:,,,,,,,,,,连续型随机变量分布函数与密度函数的关系,分布函数与密度函数关系,,定理2 ( 连续型随机变量的性质 ),( 1 ) f ( x )≥ 0 ;,( 2 ),定理2 ( 连续型随机变量的性质 ),( 3 ),( 4 ) 对任意实数c, 有P(X = c) = 0 .,从几何上看, P( X = c )表平面一条线段的面积, 故为零.,顺带指出, 不可能事件的概率为0, 但概率为0 的事件不一定是不可能事件, 同样概率为 1 的事件不一定是必然事件.,,b,,x,f ( x),a,,对于连续型 随机变量 X,,,x,f ( x),a,,(6) F(x)是连续函数, 且 f (x)在的连续点处有 F’(x) = f (x).,例2 某电子计算机在发生故障前正常运行的 时间X (单位:小时) 的密度为,解 当x＜0时, F(x) = P(X≤x) =,(2) 求分布函数F(x),,当x≥0时, F(x) = P(X≤x),,,,,,总之,,或,(3) 正常运行50～150小时的概率为,(4),(5) 令 Ai ={第 i 台计算机在100小时内发生故障} , i =1, 2, 3, 则所求概率为,求 (1) A, B , (2) 密度 f (x), (3) X 落在区间 ( 1, 2 ) 的概率.,例3 若连续型随机变量 X 的分布函数为,解 (1) 因,又因,故,(2),(3) P(1＜X＜2) = F(2)－ F(1),设某种电器系统的电压X是一个随机变量，其分布函数为1,求X的概率密度函数f(x) 2,用分布函数求概率P{X1},二、常用连续型随机变量的分布函数,1. 均匀分布,若X 的密度为,则称X 在区间(a, b)上服从( 连续型 )均匀分布, 记作 X～R( a, b ).,下面求F( x ).,,,,,,,,,当x＜a时,,当a≤x＜b时,,当x≥b时,,总之,,,,,,2.指数分布,若R.V.X的概率密度为,称X服从指数分布,,,,,0 x,F(x),1,,,,,0 1 2 x,f(x),λ,,,分布函数,,,,例 设顾客在银行等待服务的时间X(分)的概率密度为：,(指数分布),某顾客若等待超过去10分钟就离开。他1个月到银行5次，设Y为1个月内他未等待到服务而离开的次数，求Y的分布律及,解：由X密度,又Y是5重贝努里试验中离开的次数，,,例5 设X～N(1, 4)，求P ( 5 ＜X ≤7.2 )，P ( X＞3 ).,解 P( 5 ＜X ≤7.2 ),= Φ ( 3.1 )－Φ ( 2 ) = 0.9990－0.9772 = 0.0218.,P ( X ＞ 3 ) = 1－F( 3 ),= 1－Φ( 1 ) = 1－0.8413 = 0.1587.,= F ( 7.2 )－F ( 5 ),3.正态分布,例6.自动车床生产的零件长度为X,规定50+1.5毫米合格,已知X~N(50,0.752), 求合格品率。,解：所求概率为,,例7 已知男子身高X~N(170,82)问公共汽车门应多高，才能使男子碰头的概率小于0.05,或,标准化,查表,解出 为 车门 高度。,由题意,解：设车门高为h ,,三、小结,1.离散型随机变量分布律与分布函数的关系,分布律,分布函数,作 业,P71：11，12,