《高等数学下教学资料》11-2.0.ppt

§ 2. 正项级数及其审敛,电气学院学习部资料库,定理1.(正项级数收敛的充要条件):,即正项级数的部分和数列是一个单调递增数列,从而有,一. 正项级数收敛的充要条件,电气学院学习部资料库,证明:,即部分和数列有界.,定理2(比较判别法),二. 比较审敛法,电气学院学习部资料库,注:,2.比较审敛法的不便:,须有参考级数.,电气学院学习部资料库,解:,,由图可知,电气学院学习部资料库,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,推论:,电气学院学习部资料库,,定理2′(比较审敛法的极限形式),电气学院学习部资料库,证明:,由比较审敛法的推论, 得证.,(2)和(3)可类似证明(略).,电气学院学习部资料库,例2. 判别下述级数的敛散性,解:,(1),收敛,,从而根据比较审敛法的极限形式知级数(1)收敛.,,电气学院学习部资料库,(2),收敛,,从而根据比较审敛法的极限形式知级数(2)收敛.,(3),发散,,从而根据比较审敛法的极限形式知级数(3)发散.,~,~,电气学院学习部资料库,练习. 判别下述级数的敛散性,,电气学院学习部资料库,定理3(达朗贝尔 D′Alembert 判别法),三、比值判别法,电气学院学习部资料库,定理3′(比值判别法极限形式),电气学院学习部资料库,证明：,电气学院学习部资料库,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,电气学院学习部资料库,电气学院学习部资料库,解：,从而由定理3知此级数发散。,电气学院学习部资料库,练习. 判别下述级数的敛散性,电气学院学习部资料库,四、根值判别法,定理4（Cauchy判别法）,电气学院学习部资料库,解法1：,故级数收敛。,解法2：,根据定积分的定义知,故,级数收敛。,电气学院学习部资料库,解：,电气学院学习部资料库,练习. 判别下述级数的敛散性,电气学院学习部资料库,电气学院学习部资料库,电气学院学习部资料库,例7、求数列的极限。,电气学院学习部资料库,五、小结,注：凡可利用比值判别法审敛的级数均可用 根式判别法，但反之不真。,电气学院学习部资料库,思考题,电气学院学习部资料库,