2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示课件文北师大版.ppt

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,,基础知识 自主学习,,2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ，a－b＝ ， λa＝ ，|a|＝ .,1.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在 一对实数λ1，λ2，使a＝ . 其中，不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .,,知识梳理,不共线,唯一,λ1e1＋λ2e2,基底,(x1＋x2，y1＋y2),(x1－x2，y1－y2),(λx1，λy1),(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ， | |＝ . 3.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔ .,(x2－x1，y2－y1),x1y2－x2y1＝0,1.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则,判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.( ) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成 .( ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ),×,√,√,√,×,,1.设e1，e2是平面内一组基底，那么 A.若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数) C.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对,,考点自测,答案,,2.(教材改编)已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为 A.(4,3) B.(－4，－3) C.(－3，－4) D.(－3,4),,a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4).,答案,解析,,A.(－7，－4) B.(7,4) C.(－1,4) D.(1,4),,答案,解析,4.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则 ＝____.,,由已知条件可得ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1). ∵ma＋nb与a－2b共线，,答案,解析,,5.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_____.,答案,解析,(1,5),,题型分类 深度剖析,,,例1 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.,题型一 平面向量基本定理的应用,,答案,解析,平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.,思维升华,,答案,解析,,例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于,题型二 平面向量的坐标运算,,由已知3c＝－a＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4).,答案,解析,,(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，则2a－b等于 A.(4,0) B.(0,4) C.(4，－8) D.(－4,8),,因为向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b， 所以1×4＋2m＝0，即m＝－2， 所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8).,答案,解析,向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.,思维升华,跟踪训练2 (1)(2016·北京东城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则 ＝____.,答案,解析,,以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，,4,∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，,,,答案,解析,例3 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_____.,命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标,题型三 向量共线的坐标表示,答案,解析,(3,3),,所以点P的坐标为(3,3).,,所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3， 所以点P的坐标为(3,3).,,命题点2 利用向量共线求参数 例4 (2016·郑州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝( ，1＋sin θ)，若a∥b，则锐角θ＝____.,又θ为锐角，∴θ＝45°.,答案,解析,45°,平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便. (2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.,思维升华,跟踪训练3 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_____.,,∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，,答案,解析,即(4－x,2－y)＝(2，－2)，,(2,4),,答案,解析,,典例,解析法(坐标法)在向量中的应用,思想与方法系列11,建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征.,思想方法指导,规范解答,,解 以O为坐标原点， 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，,,课时作业,,,√,∵在平行四边形ABCD中，M为CD的中点，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若 ＝ －3a，则点N的坐标为 A.(2,0) B.(－3,6) C.(6,2) D.(－2,0),√,,答案,解析,设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)， ∴x＝2，y＝0.,,3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于,∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，,√,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,,4.已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于,设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，,√,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,√,,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,√,答案,解析,(－3，－5),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,,8.设0＜θ＜ ，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝____.,∵a∥b，∴sin 2θ×1－cos2θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos2θ＝0， ∵ ，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝ .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,9.在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点.若 其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝____.,,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,*10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若 ，则m＋n的取值范围是______.,答案,解析,(－1,0),∴m＝kλ，n＝k(1－λ)， ∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,11.已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.,,∴点C的坐标为(5，－3).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8). 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求3a＋b－3c；,解答,(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，,解答,,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.如图所示，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,另一方面，∵G是△OAB的重心，,