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第二节 函数的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,二、反函数的求导法则,三、复合函数的导数,四、一阶微分形式的不变性,五、常数与基本初等函数求导公式,第二章 导数与微分,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1 设函数 在 内可导，那么，它们的和、差、积、商（分母不为零）在 内也可导，并且,要证明这个定理能借助的“已知”是什么？ 还记得导数的定义吗？,仅仅用导数的定义来求复杂函数的导数是不现实的，为此我们来研究导数的运算法则.,证明: 令,那么，由导数定义可知,为了借助已知，将其“大分化，大组合”.,(2) 令 由导数定义可知,存在吗？,因为 存在，故g(x)在点x连续，因而存在，且,,,？,？,,添加项，知道其目的是什么吗？,(3) 令 由导数定义可知,特别的，如果当 （ 为常数）时，有,如设函数 均可导，则有,我们可以把定理1推广.,？,动动手，推一推！,例1 求函数 的导数.,解,解,例2 设 求 .,例4 求 的导数.,例3 设 ，求 .,解,解,用同样的方法可以求 、 的导数,例5 求 的导数.,解,讨论：你注意到导数四则运算的法则的特点了吗？对本题你想如何求解？,本题如果直接用导数的除法法则怎么样？哪种方法更简单呢？有何体会？,“积化和差”,二、反函数的求导法则,我们知道，函数 的图形与它的反函数 的图形是同一个．,,,若函数 在y点可导，则曲线在M点存在切线 l.由于这两个函数的图形是同一条曲线，因此 l也是曲线 在M点的切线.即函数 在x点也可导.,,,,由导数的几何意义，我们知道,两角有什么关系呢？,,,这说明，函数 与 的导数互为倒数.,这就是下面的定理2表述的事实.,定理2 设函数 在区间 内单调、可导且 ，则它的反函数 在区间 内也可导，并且,或,可导函数的反函数的导数，等于它的导数的倒数．,讨论：利用导数的定义，欲求 的导数，需要求谁的极限？ 的导数是谁的极限？二者有什么关系？,答：,两者为互为倒数，但是要注意，这两个极限的自变量变化过程是不同的.,的导数是极限,的导数是极限,证明: 由于 在 内单调、可导（从而连续），由前面的知识可得， 的反函数 存在，且 在 内也单调、连续.,下面证明 也是可导的．,为此，先给自变量 一个增量 ，由 的单调性可知,于是有,因 连续，故,从而,知道为什么要讨论 了吗？,等号两边发生了什么变化？,例6 求 、 的导数.,由定理2,由于 ，所以,因此,类似地可以得到,到此是否可以结束了？,例7 求 、 的导数.,解,的反函数是 ，而 在区间内单调、可导，并且其导数,由定理2,类似地可以得到,例8 求对数函数 的导数.,特别的，当 时，有,并且依据定理2有,三、复合函数的导数,,,,,,,,,,因 所以我们称 为函数y=f(x)在x处的“伸缩比”.,由此，我们猜想复合函数f[g(x)]的导数应为,下面的定理3说明了我们的猜想是正确的.,由 可导，因此,则对复合函数 我们有,已知 在x点可导，因此 在x点必连续．故当 时， .于是,复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设yf(u) u(v) v(x) 则,例9 求 的导数,由定理3，有,函数 是由 复合而成． 它们在任意点处皆可导.,由定理3，有,讨论：根据复合函数求导公式，要求复合函数的导数，首先应该做什么？,例10 求 的导数及微分.,因此,并且,例11 已知函数 可导， 求函数 的导数.,例12 设 ，则有 （ 为实数）．,回忆我们证明幂函数 连续时采用了什么技巧,从而将“未知”转化为“已知”的?这里的“已知”是什么?,例13 求 的导数.,因此,解,当 时， ，因此 .,这就是说，不论 还是 ，总有,下面我们对 时进行讨论．这时,由复合函数的求导法则，得,解,例14 求 ， 的导数.,基本初等函数的导数公式,,(1) (C)0 (2) (xm)m xm1 (3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x (8) (csc x)csc xcot x (9) (a x)a x ln a (10) (e x)ex,四、基本求导法则与导数公式,小 结,函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则,反函数求导法,四、基本求导法则与导数公式,(1) (u  v)=u  v (2) (Cu)=Cu (C是常数)  (3) (uv)=uv+u v,