数学高二(上)沪教版(数列的极限(三))教师版.doc
年 级:高二 辅导科目: 数学 课时数:3课 题 数列的极限(三)教学目的1、 理解数列极限的概念;2、 掌握数列极限的运算法则;3、 掌握常用的数列极限。4、掌握公比 0,则特别地 01lin③设 q∈(-1,1),则 qn=0; 或 不存在。lim;1li,nq,nqlim,1若无穷等比数列 叫无穷递缩等比数列,其所有项的和(各项的和)为:,,,11aqasnli关于无穷等比数列各项和:1、 使用条件:若公比为 ,则 的范围是_____ ;q01q2、 常见的应用:循环小数化分数;几何应用。【典型例题讲解】例 1、求下列极限。(1) ( - ) (2) [ ( - )] limn1232nlimn1n(3) ( + + +…+ ) (4) (a≠1)lin242723lin)()11naa解: (1) (2) (3) 1(4)当|a|1 时,原式=a;当 a=-1 时极限不存在变式练习:(1)3221lim_;1_34nn(2) li _;70(21_)3()n n例 2、已知 =5,求常数 a、b、c 的值。)413(2limbnacn解:a=0,b= ,c= 5变式练习:若 =5,求常数 a、b、的值。 3lim210nanb 1,39ab例 3、设无穷等比数列 满足 ,求首项 的取值范围。na135218lim()3na 1a解: 。211288,0,0,3qq变式练习:在等比数列中,a 11,前项和 Sn满足 ,那么 a1 的取值范围是……………………( )1limn(A) (1,+∞) (B) (1,4) (C ) (1,2) (D) (1, )2例 4、以正方形 ABCD 的四个顶点为圆心,以正方形的边长 a 为半径,在正方形内画弧,得四个交点 ,11,ABCD再在正方形 内用同样的方法得到又一个正方形 ,这样无限的继续下去,求所有这些正方形的面1ABCD2ABC积之和(包括正方形 ABCD).解:(提示)221(31),,naaqS变式练习:设 T1,T 2,T 3……为一组多边形,其作法如下:T1 是边长为 1 的三角形以 Tn 的每一边中间 的线段为一边向外作正三角形,然后将该 1/3 线段31抹去所得的多边形为 Tn+1,如图所示。令 an 表示 Tn 的周长,A(T n)表示 Tn 的面积。(Ⅰ)计算 T1,T 2,T 3 的面积 A(T1),A(T 2),A(T 3)(Ⅱ)求 ( + …+ )的值。nlim1a2n解:(Ⅰ)A(T 1)= ·1·1·sin60°= 34A(T2)=3· · · ·sin60°++A(T1)= = A(T3)=12· · · ·sin60°+A(T2)=321291037(Ⅱ)由分析知 an= an-1(Tn 的边数是 Tn-1 边数的 4 倍且每边是原来的 1/4)故 an=3·( )n-1∵ = ·( )n-14 4n4( + +∴…+ )= =nlim1a2na134注:本题综合考察由图像的变化中抽象出数列知识,由变化情况来分析周长、面积的变化情况,掌握其规律,将规律与数列联系起来。求面积时,要利用面积公式及对称性,然后由数递推数列来求答。能力点:由图像变化联系数列知识。例 5、已知公比 的无穷等比数列 各项的和为 9,无穷等比数列 各项的和为 。(01)qna2na815(1) 求数列 的首项 和公比 ;naq(2) 对给定的 ,设 是首项为 ,公差为 的等差数列。求 的前 10 项之和;(,2)k ()kTk21k(2)T(3) 设 为数列 的第 项, 。求 ,并求正整数 ,使得 存在且不ib()iT12nnSb S(1)mlinmxs等于零。(注:无穷等比数列各项和即当 时该无穷等比数列前 项和的极限)解:(Ⅰ).依题意得 ,⑴代入⑵得 ,⑴ ⑶得 ,解得 ,代入⑴得12a9()q85 1a9(3)q5 1q52q3即 ,1a312q(Ⅱ).由(Ⅰ)知 ,所以n1n12aq3()(k) kn1n1Ta(m)2a3[6(]3所以 ,数列{ }是以 2 为首项,3 为公差的等差数列,记{ }的前 项和为 ,(2)T3(m1)(N)(2) (2)TmmS所以 ,100S352(Ⅲ).由(Ⅱ)知 ,所以(i) i1i1i i22Tam1)(a3()m)[6(]3,所以i1ib(63)(),012n1n22S[95(63)][()213)(n1)]3 令 ,012n1n3()()所以 ,12n1n2S963)(3所以 12n1nn 26[()])(3 3 n1n228[()]3(6)所以 , ,n1nnS5489)(3 n1nS6549当 存在且不为零时, 。n1nnmm22(1)6354()89)S3lili m2【练习】一、填空:1、求极限:(1) ___________; (2) ___________; n)(li nli123(3) ___________; (4) =___________; nlim12322limnn(5) =___________;(6) __________22li 1nn1li3nn2、已知 354lim2ban,则 .__,ba3、 nli .)1211(222 nn4、 nli ._45、 nlim._12)(32n6、 =___________.1li973nn7、 .nli _)(2341n8、 =___________. )2(51(limn9、 =___________.1)32li2nn10、一个无穷等比数列的各项和为 9,各项平方和为 27,则 ._1a11、设等比数列{a n}(n∈N)的公比 q=- ,且 (a 1+a3+a5+…+a2n-1 )= ,则 a1=_________________.2nlim3812、首项为 1,公比为 q(q0)的等比数列前 n 项和为 Sn,则 ._li1n13、设数列 是公比 的等比数列, 是它的前 项和,若 ,那么 的的取值范围是}{na0qnSnlim7S1a__________.14、无穷等比数列中,若任何一项都等于该项后所有项之和,则此数列的公比是_______.15、 “无穷等比数列和的极限存在”是“ ”的________________________条件.1|0q【答案】一、填空:1、 (1)0;(2)3;(3)0;(4)-1;(5)1;(6) 32、0,-12 3、2 4、 5、-1 6、 7、 0 8、 9、 10、341421911、2 12、 13、 14、 15、充要1q01a2二、选择16、已知数列{a n}中,a 1=1, 2an+1=an(n=1,2,3…) ,则这个数列前 n 项和的极限是( )A、2 B、 C、3 D、 3117、已知 a、b 是互不相等的正数,则 ( )nnbalimA、1 B、-1 或 1 C、0 D、-1 或 018、 [n(1- ) (1- ) (1- )…(1- ) ]等于( )lim3452A、0 B、1 C、2 D、319、在等比数列中,a 11,前项和 Sn满足 ,那么 a1 的取值范围是( )1limnA、 (1,+∞) B、 (1,4) C、 (1,2) D、 (1, )220、等比数列{a n}中,a 1=-1,前 n 项和为 Sn,若 则 ( )053,limnSA、 B、 - C、 2 D、 -2232321、已知数列 ( )为等差数列,且 , ,2log1na*N13a5则 ( )21321limn na A、 B、 C、 D、 2122、若数列 是首项为 1,公比为 的无穷等比数列,且 各项的和为 ,则na23anaa的值是( )A、1 B、2. C、 . D、 .145【答案】16、A 17、B 18、C 19、D 20、B 21、C 22、B三、解答题:23、求极限: ).632632632(lim2 nn 解:原式= nnn )21(.)(1)(.)1(li 3232= + nli n)(.)(332limn)(.)(32= =21124、在等比数列 中, 是数列前 项和,公比 , ,求 .}{nanS0q1anlimSa解:1)当 时, ;1q01limlinn2)当 时,nnnqSa1lili当 时,1qnli当 时,00limnSa25、已知等比数列{a n}的首项为 a1,公比为 q,且有 ( -q n)= ,求首项 a1 的取值范围.nlia12解:当 时, ( -q n)= -1= ,得1qnlim121231当 时, ( -q n)= - qn= ,得 , =nlia1a1lim|0qa12)1,2(,0)1(2qa综上所述, 326、已知各项均为正数的等比数列 的首项 ,公比为 ,前 n 项和为 ,若 ,求 的取值范}{na1qnS1limnq围。解:当 时, ,满足条件;1q1limli1nSn当 时,nnnqlili11) 当 时, ,满足条件|0q1lili1nnnS2) 当 时, ,不满足条件qnnnlimli13) 当 时, ,不满足条件1qSnnnlili11 综上所述, ],0(),27、 是无穷等比数列,且所有项和存在,解答下列问题:}{na① 若 ,求 的范围;2121 na1a② 若 ,求公比 的范围。 q①解:由条件得 ,即 ,由 ,得2limnS21q)1,()1,0(a②解:由条件得 ,lian当 时, 01a1) 当 时,1|q21lim2li1qaSnnn),(limqnn2) 当 时, ,满足条件1q12limlianSn3) 当 时, lili1qnnnn 趋近于无穷大时, 无穷大,恒大于q24) 当 时, ,n 趋近于无穷大时, 既可以趋近无穷大,1q1lim2li1qaSnn qn1也可以趋近无穷小,不满足条件。当 时, 01a1) 当 时,|q21li2li1qaSnnn),0(,1limqnn2) 当 时, ,满足条件q12limlianSn3) 当 时, ,n 趋近于无穷大时, 无穷大,不合条件1lili1qnn qn14) 当 时, ,n 趋近于无穷大时, 既可以趋近无穷大,q2li2li1aSnn n也可以趋近无穷小,不合条件综上所述,当 时, ;当 时,01a)2,0(,01),21(q28、已知数列{a n}、{b n}都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2 是 a2 与 a3 的等差中项,且 = ,求{a n}、{ bn}的通nlimb21项解:设等差数列{a n}的公差为 ,{b n}的公差为 ,则 , ,由条件得a)(n)(bn① 2323b②1limn①, ②联立得, 4,2ba所以 ,12na24nb29、两个数列 、 中, 成等差数列,且 成等比数列。n 120nnnabba,,, 且, ban21,,(一) 证明 是等差数列;b(二) 若 的值。nnaa…, 求 2112lim3(1)证明:由条件得, ①12b②11 nnnn ba③1②,③ 代入 ①,得 2n11nnnb12所以 是等差数列(2)由 ,由 ,21212bab 23212ba得 )(nn由 )1(21nabann 2)1(3lim)1(limlim21 nabnnn…30、已知 且 ,求 a 的取值范围。R 11 3)(.93li423li nnna右边= ,右边= ,当 ,即 时,左边=右边)31(4 nn)3(1lim0a0