数学高二(上)沪教版(数列的极限(三))教师版.doc

年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3课 题 数列的极限（三）教学目的1、 理解数列极限的概念；2、 掌握数列极限的运算法则；3、 掌握常用的数列极限。4、掌握公比 0，则特别地 01lin③设 q∈(-1，1)，则 qn=0； 或 不存在。lim;1li,nq,nqlim,1若无穷等比数列 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：,,,11aqasnli关于无穷等比数列各项和：1、 使用条件：若公比为 ，则 的范围是_____ ;q01q2、 常见的应用：循环小数化分数；几何应用。【典型例题讲解】例 1、求下列极限。(1) ( - ) (2) [ ( - )] limn1232nlimn1n(3) ( + + +…+ ) (4) (a≠1)lin242723lin)()11naa解： (1) (2) (3) 1(4)当|a|1 时，原式=a；当 a=-1 时极限不存在变式练习：（1）3221lim_;1_34nn（2） li _;70(21_)3()n n例 2、已知 =5，求常数 a、b、c 的值。)413(2limbnacn解：a=0，b= ，c= 5变式练习：若 =5，求常数 a、b、的值。 3lim210nanb 1,39ab例 3、设无穷等比数列 满足 ，求首项 的取值范围。na135218lim()3na 1a解： 。211288,0,0,3qq变式练习：在等比数列中，a 11,前项和 Sn满足 ，那么 a1 的取值范围是……………………（ ）1limn（A） （1，＋∞） （B） （1，4） （C ） （1，2） （D） （1， ）2例 4、以正方形 ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长 a 为半径，在正方形内画弧，得四个交点 ，11,ABCD再在正方形 内用同样的方法得到又一个正方形 ，这样无限的继续下去，求所有这些正方形的面1ABCD2ABC积之和（包括正方形 ABCD）.解：（提示）221(31),,naaqS变式练习：设 T1，T 2，T 3……为一组多边形，其作法如下：T１ 是边长为 1 的三角形以 Tn 的每一边中间 的线段为一边向外作正三角形，然后将该 1/3 线段31抹去所得的多边形为 Tn+1，如图所示。令 an 表示 Tn 的周长，A(T n)表示 Tn 的面积。(Ⅰ)计算 T1，T 2，T 3 的面积 A(T1)，A(T 2)，A(T 3)(Ⅱ)求 ( + …+ )的值。nlim1a2n解：(Ⅰ)A(T 1)= ·1·1·sin60°= 34A(T2)=3· · · ·sin60°++A(T1)= = A(T3)=12· · · ·sin60°+A(T2)=321291037(Ⅱ)由分析知 an= an-1(Tn 的边数是 Tn-1 边数的 4 倍且每边是原来的 1/4)故 an=3·( )n-1∵ = ·( )n-14 4n4( + +∴…+ )= =nlim1a2na134注：本题综合考察由图像的变化中抽象出数列知识，由变化情况来分析周长、面积的变化情况，掌握其规律，将规律与数列联系起来。求面积时，要利用面积公式及对称性，然后由数递推数列来求答。能力点：由图像变化联系数列知识。例 5、已知公比 的无穷等比数列 各项的和为 9，无穷等比数列 各项的和为 。(01)qna2na815（1） 求数列 的首项 和公比 ；naq（2） 对给定的 ，设 是首项为 ，公差为 的等差数列。求 的前 10 项之和；(,2)k ()kTk21k(2)T（3） 设 为数列 的第 项， 。求 ，并求正整数 ，使得 存在且不ib()iT12nnSb S(1)mlinmxs等于零。（注：无穷等比数列各项和即当 时该无穷等比数列前 项和的极限）解：（Ⅰ）.依题意得 ，⑴代入⑵得 ，⑴ ⑶得 ，解得 ，代入⑴得12a9()q85  1a9(3)q5 1q52q3即 ，1a312q（Ⅱ）.由（Ⅰ）知 ，所以n1n12aq3()(k) kn1n1Ta(m)2a3[6(]3所以 ，数列{ }是以 2 为首项，3 为公差的等差数列，记{ }的前 项和为 ，(2)T3(m1)(N)(2) (2)TmmS所以 ，100S352（Ⅲ）.由（Ⅱ）知 ，所以(i) i1i1i i22Tam1)(a3()m)[6(]3，所以i1ib(63)()，012n1n22S[95(63)][()213)(n1)]3 令 ，012n1n3()()所以 ，12n1n2S963)(3所以 12n1nn 26[()])(3 3 n1n228[()]3(6)所以 ， ，n1nnS5489)(3 n1nS6549当 存在且不为零时， 。n1nnmm22(1)6354()89)S3lili  m2【练习】一、填空：1、求极限：（1） ___________； （2） ___________； n)(li nli123（3） ___________； （4） =___________； nlim12322limnn（5） =___________；（6） __________22li 1nn1li3nn2、已知 354lim2ban，则 .__,ba3、 nli .)1211(222 nn4、 nli ._45、 nlim._12)(32n6、 =___________.1li973nn7、 .nli _)(2341n8、 =___________. )2(51(limn9、 =___________.1)32li2nn10、一个无穷等比数列的各项和为 9，各项平方和为 27，则 ._1a11、设等比数列{a n}（n∈N）的公比 q=－ ,且 （a 1+a3+a5+…+a2n－1 ）= ,则 a1=_________________.2nlim3812、首项为 1，公比为 q(q0)的等比数列前 n 项和为 Sn，则 ._li1n13、设数列 是公比 的等比数列， 是它的前 项和，若 ，那么 的的取值范围是}{na0qnSnlim7S1a__________.14、无穷等比数列中，若任何一项都等于该项后所有项之和，则此数列的公比是_______.15、 “无穷等比数列和的极限存在”是“ ”的________________________条件.1|0q【答案】一、填空：1、 （1）0；（2）3；（3）0；（4）-1；（5）1；（6） 32、0，-12 3、2 4、 5、-1 6、 7、 0 8、 9、 10、341421911、2 12、 13、 14、 15、充要1q01a2二、选择16、已知数列{a n}中，a 1=1， 2an+1=an(n=1，2，3…) ，则这个数列前 n 项和的极限是（ ）A、2 B、 C、3 D、 3117、已知 a、b 是互不相等的正数，则 （ ）nnbalimA、1 B、－1 或 1 C、0 D、－1 或 018、 ［n（1－ ） （1－ ） （1－ ）…（1－ ） ］等于（ ）lim3452A、0 B、1 C、2 D、319、在等比数列中，a 11,前项和 Sn满足 ，那么 a1 的取值范围是（ ）1limnA、 （1，＋∞） B、 （1，4） C、 （1，2） D、 （1， ）220、等比数列｛a n｝中，a 1=－1,前 n 项和为 Sn，若 则 （ ）053,limnSA、 B、 － C、 2 D、 －2232321、已知数列 （ ）为等差数列，且 ， ，2log1na*N13a5则 （ ）21321limn na   A、 B、 C、 D、 2122、若数列 是首项为 1，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为 ，则na23anaa的值是( )A、1 B、2. C、 . D、 .145【答案】16、A 17、B 18、C 19、D 20、B 21、C 22、B三、解答题：23、求极限： ).632632632(lim2 nn 解：原式=   nnn )21(.)(1)(.)1(li 3232= + nli n)(.)(332limn)(.)(32= =21124、在等比数列 中， 是数列前 项和，公比 ， ，求 .}{nanS0q1anlimSa解：1）当 时， ；1q01limlinn2）当 时，nnnqSa1lili当 时，1qnli当 时，00limnSa25、已知等比数列{a n}的首项为 a1,公比为 q,且有 （ －q n）= ，求首项 a1 的取值范围.nlia12解：当 时， （ －q n）= －1= ，得1qnlim121231当 时， （ －q n）= － qn= ，得 ， =nlia1a1lim|0qa12)1,2(,0)1(2qa综上所述， 326、已知各项均为正数的等比数列 的首项 ，公比为 ，前 n 项和为 ，若 ，求 的取值范}{na1qnS1limnq围。解：当 时， ，满足条件；1q1limli1nSn当 时，nnnqlili11） 当 时， ，满足条件|0q1lili1nnnS2） 当 时， ，不满足条件qnnnlimli13） 当 时， ，不满足条件1qSnnnlili11 综上所述， ],0(),27、 是无穷等比数列，且所有项和存在，解答下列问题：}{na① 若 ，求 的范围；2121 na1a② 若 ，求公比 的范围。 q①解：由条件得 ，即 ，由 ，得2limnS21q)1,()1,0(a②解：由条件得 ，lian当 时， 01a1） 当 时，1|q21lim2li1qaSnnn),(limqnn2） 当 时， ，满足条件1q12limlianSn3） 当 时， lili1qnnnn 趋近于无穷大时， 无穷大，恒大于q24） 当 时， ，n 趋近于无穷大时， 既可以趋近无穷大，1q1lim2li1qaSnn qn1也可以趋近无穷小，不满足条件。当 时， 01a1） 当 时，|q21li2li1qaSnnn),0(,1limqnn2） 当 时， ，满足条件q12limlianSn3） 当 时， ，n 趋近于无穷大时， 无穷大，不合条件1lili1qnn qn14） 当 时， ，n 趋近于无穷大时， 既可以趋近无穷大，q2li2li1aSnn n也可以趋近无穷小，不合条件综上所述，当 时， ；当 时，01a)2,0(,01),21(q28、已知数列{a n}、{b n}都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2 是 a2 与 a3 的等差中项,且 = ,求{a n}、{ bn}的通nlimb21项解：设等差数列{a n}的公差为 ，{b n}的公差为 ，则 ， ，由条件得a)(n)(bn① 2323b②1limn①， ②联立得， 4,2ba所以 ，12na24nb29、两个数列 、 中， 成等差数列，且 成等比数列。n 120nnnabba，，， 且， ban21,,（一） 证明 是等差数列；b（二） 若 的值。nnaa…， 求 2112lim3（1）证明：由条件得， ①12b②11  nnnn ba③1②，③ 代入 ①，得 2n11nnnb12所以 是等差数列（2）由 ，由 ，21212bab 23212ba得 )(nn由 )1(21nabann 2)1(3lim)1(limlim21  nabnnn…30、已知 且 ，求 a 的取值范围。R  11 3)(.93li423li nnna右边= ，右边= ，当 ，即 时，左边=右边)31(4 nn)3(1lim0a0